Моу лицей №7 Невозможные объекты. Мысков Денис Евгеньевич



Скачать 208.96 Kb.
Дата03.05.2016
Размер208.96 Kb.
МОУ лицей №7

Невозможные объекты.

Выполнил:

Мысков Денис Евгеньевич,

ученик 11 класса МОУ лицей №7

Руководитель работы:

Брагина Елена Леонтьевна,

учитель математики МОУ лицей №7

Томск, 2010

Содержание.

Введение.

Невозможные объекты.


        1. Невозможные объекты в искусстве Средневековья.

        2. Невозможное искусство - имп-арт.

        3. Оскар Рутесвард - основатель имп-арта.

        4. Математическая теория невозможных фигур Пенроуза.

        5. Невозможный мир Эшера.

        6. «Чертова вилка»

        7. Невозможные фигуры - возможны!

Заключение.

Приложение. Исследование усвоения геометрического материала и развития пространственных представлений у учащихся школы.

Введение.

Одной из интереснейших тем, которая получила свое бурное развитее всего лишь в начале ХХ века, является «мир невозможных фигур». Однако, гораздо раньше, многие ученые и философы занимались этим вопросом. Даже такие простые объемные формы, как куб, пирамида, параллелепипед можно представить как комбинацию нескольких фигур, находящихся на разном расстоянии от глаза наблюдателя. Всегда при этом должна быть линия, по которой изображение отдельных частей совмещающих в целостную картину.

«Невозможная фигура - это выполненный на бумаге трехмерный объект, который не может существовать в действительности, но который, однако, можно видеть как двухмерное изображение»

Расхожее выражение «обман зрения» по сути своей неверно. Глаза не могут обмануть нас, поскольку являются промежуточным звеном между объектом и мозгом человека. Обман зрения обычно возникает не из-за того, что мы видим, а из-за того, что бессознательно рассуждаем и невольно заблуждаемся: «посредством глаза, а не глазом смотреть на мир умеет разум».

Понимание визуальных парадоксов является одним из признаков того вида творческого потенциала, которым обладают лучшие математики, ученые и художники. Многие работы с парадоксальными объектами можно отнести к «интеллектуальным математическим играм». Современная наука говорит о 7-мерной или 26-мерной модели мира. Моделировать подобный мир можно только с помощью математических формул, человек представить его просто не в состоянии. И здесь оказываются полезными невозможные фигуры. С философской точки зрения они служат напоминанием о том, что любые явления (в системном анализе, науке, политике, экономике и т.д.) следует рассматривать во всех сложных и неочевидных взаимосвязях. Человек неустанно мысленно создает вокруг себя то, что для него будет просто и понятно. Он даже не может себе представить, что некоторые объекты, окружающие его, могут быть «невозможными». На самом деле мир един, но рассматривать его можно с разных сторон.

Я прочитал статью о невозможных фигурах, заинтересовался ими, разыскал материал и изучил эту тему со всех сторон. Занимаясь невозможными фигурами, изучая материалы по кристаллографии, симметрии, мне хочется глубже разобраться в четвертом измерении, научиться рисовать такие фигуры.

В своей работе я хочу показать тот мир, который на первый взгляд парадоксален, его не сразу можно понять.

Цель моей работы систематизация материала по данной теме, создание презентации с иллюстрациями, которую можно использовать во внеклассной работе по математике в средних классах для развития пространственного мышления и воображения.

Для обоснования актуальности своей работы, я провел исследование усвоения геометрического материала и развития пространственных представлений у учащихся школы. Для этого использовались материалы тестирования на готовность к продолжению образования «Кенгуру – выпускникам», которое ежегодно проводит Институт продуктивного обучения Российской академии образования. Были проанализированы результаты учащихся нашей школы за несколько лет с точки зрения усвоения программных разделов по геометрии по отношению к алгебраическим разделам .Исследования показали, что тема «Геометрические фигуры» усваивается гораздо хуже, чем тема «Числа». Разрыв в некоторые годы достигает 50%. Причем задания на пространственные формы, которые предлагаются в 11 классе, выполняются гораздо хуже, чем задания на плоскости. Кроме этого, были изучены результаты сформированности наглядных представлений обучающихся по сравнению с использованием определений, фактов и стандартных алгоритмов. Здесь картина еще печальнее. Результаты исследования представлены в виде диаграмм в приложении. Проведенное исследование показывает необходимость моей работы, как одного из способов развития пространственных представлений у обучающихся и в этом ее актуальность.

Мы привыкли верить фотографиям (и несколько в меньшей степени - чертежам и рисункам), наивно полагая, что они всегда соответствуют какой-то действительности (реальной или вымышленной). Отсутствие эльфов в наблюдаемой нами области пространства/времени еще не означает, что они не могут существовать. Еще как могут (в чем легко убедиться с помощью гипса, пластилина или папье-маше). А вот можно ли нарисовать то, чего вообще не может быть?! Что вообще нельзя сконструировать?!

Существует огромный класс так называемых "невозможных фигур", ошибочно или умышленно нарисованных с ошибками передачи перспективы, в результате чего возникают забавные визуальные эффекты.



Невозможные объекты.

        1. Невозможные объекты в искусстве Средневековья.

Невозможные фигуры достаточно часто встречаются на древних гравюрах, картинах и иконах - в одних случаях мы имеем с явными ошибками передачи перспективы, в других - с умышленными искажениями, обусловленными художественным замыслом

В средневековой японской и персидской живописи невозможные объекты являются неотъемлемой частью восточного художественного стиля, дающего лишь общий набросок картины, детали которой "приходится" додумывать зрителю самостоятельно, в соответствии со своими предпочтениями. Вот перед нами школа, в которой учатся Лейла и Меджнун (см. рис. 1). Наше внимание привлекает архитектурное сооружение на заднем плане, геометрическая противоречивость которого очевидна. Его можно интерпретировать и как внутреннюю стену комнаты, и как наружную стену здания, но обе эти интерпретации неправильны, поскольку мы имеем дело с плоскостью, одновременно являющуюся и внешней, и наружной стенкой, то есть на картине изображен типичный невозможный объект. Вот она - сила искусства!!!



291_4.jpg

Рисунок 1. Средневековая персидская миниатюра с невозможной стеной на заднем плане.

Картины с искаженной перспективой встречаются уже в начале первого тысячелетия. На миниатюре из книги Генриха II, созданной до 1025 года и хранящейся в баварской государственной библиотеке в Мюнхене, нарисована Мадонна с младенцем. ( рисунок 2) На картине изображен свод, состоящий из трех колонн, причем средняя колонна по законам перспективы должна располагаться впереди Мадонны, но находится за ней, что придает картине эффект сюрреалистичности.



        1. Невозможное искусство - имп-арт.

Гигантские муравьи, бегущие чередой по нескончаемой, вывернутой восьмерке (рисунок 3), некие дворцы или замки, жители которых вынуждены ходить вверх по лестницам, ведущим вниз. Даже в обычной луже художник ухитрился увидеть окно в иной мир. Кто же сотворил этот невозможный мир?

pic2.jpg

Рисунок 3.

Создатель его представлялся необычно — инициалами: М.С. Эшер, хотя настоящая его фамилия — Мауртис Корнелис. Родился будущий художник в маленьком голландском городке Лиуварденето в 1898 году, то есть более 100 лет назад. Он был младшим сыном в семье инженера, где, кроме него, было еще четверо детей. Старшие братья пошли по стопам отца, стали научными работниками и инженерами. А младший оказался не в ладах с математикой. За формулами ему мерещились некие причудливые узоры. В конце концов Эшер выбрал профессию художника-графика и оказался одним из первых, кто стал делать гравюры на новом для того времени материале - линолеуме. Хоть Эшер и посещал школу архитектуры и декоративных искусств в Гарлеме, он, тем не менее, не стремился что-либо построить. Эшер полагал, что с него вполне достаточно и того, что он делает попытки наглядно представить себе и показать другим, как могут выглядеть те или иные математические абстракции. А со временем выяснилось, что некоторые "невозможные" объекты вполне могут существовать на самом деле.


        1. Оскар Реутерсвард - основатель имп-арта.

Основателем направления невозможного искусства - имп-арта по праву называют шведского художника Оскара Реутерсварда. В 1934 году Оскар Реутерсвард создал первый невозможный треугольник, составленный из серии кубиков. Хотя многие художники создавали невозможные фигуры, именно Реутерсвард открыл новый мир фантазий.

triangle_impossible_cubes

Рисунок 4.



С тех пор Реутерсвард создал тысячи невозможных фигур. Сегодня он известен как "отец невозможных фигур". В 1980 году Шведское правительство решило разместить невозможный треугольник, а также две другие фигуры Реутерсварда, на почтовых марках, которые выпускались с 1982 года примерно два года.

Оскар Реутерсвард родился в 1915 году в Стокгольме (Швеция). Он обучался рисованию под руководством русского иммигранта профессора Академии Искусств в Санкт-Петербурга Михаила Каца. За годы творчества он создал более 2500 различных невозможных фигур. Все они представлены в параллельной (японской) перспективе и составлены из блоков. Оскар Реутерсвард является профессором истории и теории искусства в Университете Лунда (Швеция). Профессор Реутерсвард является также сотрудником журналов, в которых опубликовал многочисленные статьи об утопистах в архитектуре, об искусстве времени Французской Революции, а также о развитии абстрактной скульптуры и изобразительного искусства в двадцатом веке. Более подробно о своем творчестве художник рассказывает в автобиографической статье "Невозможные фигуры", в которой он также рассказывает об истории создания некоторых фигур.

        1. Математическая теория невозможных фигур Пенроуза.

Несмотря на то, что невозможные фигуры известны чуть ли не со времен наскальной живописи, их систематическое изучение началось лишь в середине XX века, то есть практически на наших глазах, а до этого математики отмахивались от них как от досадного недоразумения. Самую известную классическую фигуру "Невозможный треугольник" английский математик Роджер Пенроуз сотворил в 1954 году. Он использовал линейную перспективу, а не параллельную, как Рутесвард, (Роджер Пенроуз не был знаком с его работами), что придало картине глубину и выразительность и, следовательно, большую степень невозможности. В 1958 году Роджер Пенроуз опубликовал статью о невозможных фигурах в "Британском журнале психологии" в соавторстве со своим отцом Лайонелом Пенроузом. Статья стала первой теоретической работой в этой области и послужила толчком для развития и популяризации картин в стиле имп-арта.

треугольниктреугольник

Рисунок 5. Треугольник Реутерсварда (слева) и треугольник Пенроуза (справа)

Сэр Роджер Пенроуз родился в Колчестере (Англия) 8 августа 1931 года. Оба его родителя были высокообразованными людьми. Его мать Маргарет Фит была врачом, а отец Лайонел Пенроуз - медиком-генетиком, избранным членом Королевского научного общества. Роджер и оба его брата Оливер и Джонатан посвятили себя науке. Джонатан стал психологом, а Оливер - математиком. В 1939 году отец Роджера перевез семью в Соединенные Штаты, и в связи с началом Второй Мировой Войны решил не возвращаться в Англию. Лайонел Пенроуз принял предложение работать в больнице города Лондон (Онтарио, Канада). Роджер посещал в Лондоне школу. В это время он впервые заинтересовался математикой. Но этот интерес стимулировался, скорее, не обучением в школе, а влиянием семьи. Отец Роджера стал директором психиатрических исследований в госпитале Онтарио в Лондоне (Онтарио), но он очень интересовался математикой, и геометрией в частности. Мать Роджера также интересовалась геометрией. В 1945 году по окончании Второй Мировой Войны семья вернулась в Англию. Лайонел Пенроуз был назначен Профессором Генетики Человека в Университетском Колледже в Лондоне. Роджер поступил учиться туда же. Здесь его интерес к математике стал увеличиваться, но родители настаивали на выборе медицинской специальности, чтобы следовать по стопам отца. Однако, как было заведено в школах того времени, математика и биология были двумя взаимоисключающими предметами. И школьники, изучающие один предмет, не могли изучать другой. Пенроуз поступил в колледж, не платя никаких взносов, потому что его отец работал там же. Он был удостоен степени бакалавра с наградой первого класса в математике, и Роджер принял решение поступить в Кембридж, чтобы заняться чистой математикой. Он шел по стопам своего старшего брата Оливера, который также закончил Лондонский Университетский Колледж и затем поступил в Кембридж, но Оливер выбрал физику. Роджер был нацелен на изучение математики и поступил в Колледж Сент-Джон, где начал изучать алгебраическую геометрию. Он получил степень доктора за свои работы в области алгебры и геометрии в 1957 году, но в то время он уже интересовался физикой. В 1964 году Роджер был принят в Биркбек Колледж (Birkbeck College) в Лондоне в качестве преподавателя, где через два года был повышен в должности до Профессора прикладной математики. В 1973 году он был принят в Оксфордский университет в должности Ведущего Профессора Математики и оставался в этой должности вплоть до 1998 года, когда ему было присвоено звание Заслуженного Ведущего Профессора Математики В том же году он стал Профессором геометрии в Грешемском Колледже в Лондоне. Направления исследований Роджера Пенроуза включают в себя многие аспекты геометрии, теорию непериодических мозаик, общую теорию относительности и основы квантовой теории. Когда Пенроуз получил свою докторскую степень в Кембридже в области алгебраической геометрии, он начал работу над решением проблемы нахождения набора плиток для мозаики, при помощи которого можно замостить всю плоскость, не создавая повторяющихся узоров. Такие мозаики называются квази-симметричными. Вооруженный лишь блокнотом и ручкой, Пенроуз нашел набор плиток, который позволяет создавать квази-симметричные образцы мозаики, которые кажутся на первый взгляд повторяющимися, но при внимательном рассмотрении видно, что это не так. В конечном итоге он нашел решение проблемы, но оно требовало использования многих тысяч различных плиток. После годов исследований он сократил это количество до шести плиток, а еще позже до невероятного количества - 2 плитки. В 1954 году Роджер и Лайонел Пенроузы опубликовали в Британском журнале психологии статью о двух классических невозможных фигурах - невозможном треугольнике и бесконечной лестнице. В этой статье невозможный треугольник был представлен в его классическом виде - в виде трех соединяющихся под прямым углом балок, изображенных с эффектом перспективы.

Пенроуз верит, что процессы выполняемые человеческим мозгом не могут быть произведены вычислительной машиной. Он также считает, что современная физика неполна, так как не существует теории квантовой гравитации. Пенроуз надеется, что адекватная теория квантовой гравитации сможет пролить свет на природу сознания. Пенроуз получил множество наград за свой вклад в науку. Он был избран членом Королевского Научного Общества в 1972 году и Зарубежным Ассоциированным членом Академии Наук Соединенных Штатов Америки в 1998 году. В 1994 году за заслуги в науке он был посвящен в рыцари, и теперь его можно называть сэр Роджер Пенроуз.18 января 2006 года Роджер Пенроуз получил награду за выдающиеся достижения в просвещении в математике не математиков.



        1. Невозможный мир Эшера.

Роджер Пенроуз начал заниматься невозможными объектами под влияние лекции Эшера, но его математические работы в свою очередь оказали свое влияние на творчество художника. В 1961 году М. К. Эшер под впечатлением невозможного треугольника, нарисованного Пенроузом (Пенроузы отослали копию статьи Эшеру) создал знаменитые литографии "Водопад" и "Возхождение и спуск"

Рассмотрим знаменитую картину Мориса Эшера "Водопад" и ее упрощенную компьютерную модель, выполненную в фотореалистичном стиле (см. рис. 7). На первый взгляд перед нами обыкновенная картина, изображающая... чертеж вечного двигателя!!! Но ведь, как известно из школьного курса физики, вечный двигатель невозможен! Как же Эшеру удалось с такими подробностями изобразить то, чего в природе вообще не может быть?!



291_1.jpg

Рисунок 7. Вечный двигатель на гравюре "Водопад" Эшера.

291_2.jpg

Рисунок 8. Компьютерная модель вечного двигателя Эшера

При попытке соорудить двигатель согласно чертежу (или при внимательном анализе последнего), "обман" всплывает сразу - в трехмерном пространстве такие конструкции геометрически противоречивы и могут существовать только на бумаге, то есть на плоскости, а иллюзия "объема" создается лишь за счет признаков перспективы (в данном случае - умышленно искаженных).

Другая известная работа Пенроуза (повторенная в гравюре Эшера "Бесконечный спуск") изображена на рис. 9. Как видно, она представляет собой разновидность "Водопада", трансформированную в лестницу, ведущую в вечность, по которой можно подниматься (спускаться) бесконечно. Если бросить на лестницу мячик, то мы получим вполне конкретный вечный двигатель.

лестница пенроуза  бесконечный спускРисунок 9. Лестница Пенроуза и "Бесконечный спуск"/"Ascendiendo descendiendo

А вот пара невозможных фигур, созданных Оскаром Реутерсвардом (см. рис. 12). Это хоть и не вечные двигатели, но идея, лежащая в их основе, все та же - изображение объемного пространства на плоскости, которое не соответствует никакой физической действительности.



невозможная фигура  невозможная фигура

Рисунок 12. Пара невозможных фигур от Оскара Реутерсварда

        1. "Чертова вилка".

Существует группа невозможных объектов, скульптурная реализация которых невозможна. Самая, пожалуй, известная из них - "невозможный трезубец", или "чертова вилка" (Р3-1). Если внимательно присмотреться к объекту, можно заметить, что три зубца постепенно переходят в два на общем основании, приводя к конфликту восприятия. Мы сравниваем число зубцов сверху и снизу и приходим к выводу о невозможности объекта

. 291_3.gif

Рисунок 14.

На основе "вилки" создано великое множество невозможных объектов, в том числе таких, где цилиндрическая на одном конце деталь становится квадратной на другом.



Невозможные фигуры - возможны!

Знакомство с невозможными фигурами (особенно в исполнении Эшера), конечно, ошеломляет, но тот факт, что любую из невозможных фигур возможно сконструировать в реальном трехмерном мире удивляет гораздо больше. Как известно, всякое двухмерное изображение представляет собой проекцию трехмерной фигуры на плоскость (лист бумаги). Способов проекции существует достаточно много, но в рамках каждого из них (например, аксонометрической проекции) отображение выполняется однозначно, то есть существует строгое соответствие между трехмерной фигурой и ее двухмерным изображением. Однако аксонометрические, изометрические и другие популярные способы проекции являются однонаправленными преобразованиями, осуществляемыми с потерей информации и потому обратное преобразование может быть выполнено бесконечным множеством способов, то есть двухмерному изображению соответствует бесконечное множество трехмерных фигур и любой математик без труда докажет, что такое преобразование возможно для любого двухмерного изображения. То есть, на самом деле никаких невозможных фигур нет!

Вернемся к треугольнику Пенроуза и попробуем соорудить трехмерную фигуру, проекция которой на двухмерную плоскость выглядела бы обозначенным образом. Естественно, "в лоб" такую задачу решить не удастся, но если хорошо покурить и выбрать правильный ракурс, то... один из возможных вариантов показан на рис. 16.

291_13.jpg

Рисунок 16. Возможный невозможный Треугольник Пенроуза.

Многие считают, что невозможные фигуры действительно невозможны, и они не могут быть созданы в реальном мире. Однако из школьного курса геометрии нам известно, что чертеж, изображенный на листе бумаги, является проекцией трехмерной фигуры на плоскость. Следовательно, любая фигура, нарисованная на листе бумаги должна существовать в трехмерном пространстве. Причем трехмерных объектов, при проецировании на плоскость которых, получается заданная плоская фигура бесконечное множество. Это же относится и к невозможным фигурам. Конечно, ни одну из невозможных фигур нельзя создать, действуя прямолинейно. Например, если вы возьмете три одинаковых деревянных бруска, вы не сможете совместить их так, чтобы получился невозможный треугольник. Однако, при проецировании трехмерной фигуры на плоскость некоторые линии могут становиться невидимыми, перекрывать друг друга, стыковаться друг с другом и т.п.

С древних времен люди пытались изображать животных, предметы быта, пейзажи на скале, глиняной дощечке, бересте, а позднее на бумаге и холсте. Чтобы изображать на листе бумаги объемный предмет мы не задумываемся над тем, как же можно его, имеющего три измерения / длину, ширину и высоту / втиснуть в бумагу, которая имеет всего два измерения, Мы идем на условности. Законы линейной и воздушной перспективы помогают нам отобразить глубину. Получается, что мы стараемся втиснуть объем в плоскость, приучая наше сознание к этому. Нас до определенной степени устраивают фотографии, кино и телеизображение, которые в сущности тоже самое. Таким образом, зная как человек воспринимает двухмерное изображение, можно создавать на плоскости невозможные фигуры. На первый взгляд, это обыкновенная фигура, но при более пристальном рассмотрении, а точнее после того, как вы начинаете ее представлять в трехмерном пространстве, сразу же ощутите, что она необычна и что - то не вписывается в ваше привычное представление. Вот так же случайно Ройтерсверд нарисовал свой треугольник и понял, что сделать такого рода фигуры в пространстве невозможно. Их можно лишь изображать на плоскости, придавая им объем за счет правильного распределения теней. Для людей, склонных к изобретательству, невозможные фигуры являются своеобразным рычагом для создания чего - то нового, необычного. Они способны направить творческие возможности человека в новое русло, изменить пространственное мышление, воображение.

Кстати говоря, Треугольник Пенроуза увековечен в виде статуи в Перте (Австралия). Созданный усилиями художника Брайна МакКея и архитектора Ахмада Абаса, он был воздвигнут в парке Клайзебрук в 1999 году и теперь все проезжающие мимо могут видеть следующую "невозможную" фигуру (см. рис. 17). Стоит изменить угол зрения, как треугольник из "невозможного" превращается в реальное и эстетически непривлекательное сооружение, не имеющее к треугольникам никакого отношения.



perth_tri1 perth_tri2

Рисунок 17



Заключение.

Невозможные фигуры находят иногда неожиданное применение. Оскар Рутесвард рассказывает в книге "Omojliga figurer" об использовании рисунков имп-арта для психотерапии. Он пишет, что картины своими парадоксами вызывают удивление, заостряют внимание и желание расшифровать. В Швеции их применяют в зубоврачебной практике: рассматривая картины в приемной, пациенты отвлекаются от неприятных мыслей перед кабинетом стоматолога.

Невозможные объекты заставляют наш разум сначала увидеть то, чего по нашим привычным меркам быть не должно, затем искать ответ - что же сделано не так, в чем скрыта изюминка парадокса. А ответ найти порой не так - то просто - он скрыт в оптическом, психологическом, логическом восприятии рисунков. Для людей, склонных к изобретательству, невозможные фигуры являются своеобразным рычагом для создания чего-то нового, необычного.

Математики утверждают, что и дворцы, в которых можно спуститься вниз по лестнице, ведущей вверх, могут существовать. Для этого нужно лишь построить такое сооружение не в трехмерном, а, скажем, в четырехмерном пространстве. А уж в виртуальном мире, который открывает нам современная компьютерная техника, и не такое можно натворить. Вот так в наши дни осуществляются задумки человека, который еще на заре века поверил в существование невозможных миров.

Развитие технических исследований, необходимость мыслить по-новому, поиски прекрасного - все эти требования современной жизни заставляют искать новые способы, которые способны направить творческие возможности человека в новое русло, изменить пространственное мышление, воображение.

В процессе выполнения своей работы я актуализировал тему «Невозможные фигуры». Представляя свою работу на различных форумах, получил ответный всплеск интереса к теме. Многие услышали об этой теме впервые и теперь, благодаря моей работе, смогут расширить свой кругозор. Мое исследование по развитию наглядных представлений привлекло внимание учителей математики нашего лицея, а собранный мною иллюстративный материал, был использован в работе с младшими школьниками. Я считаю, что поставленная мною цель была достигнута.



Список литературы и источников.

  1. Левитин Карл Геометрическая рапсодия. - М.: Знание, 1984, -176 с.

  2. Пенроуз Л., Пенроуз Р. Невозможные объекты, Квант, № 5,1971, с.26

  3. Реутерсвард О. Невозможные фигуры. – М.: Стройиздат,1990, 206 с.

  4. Ткачева М.В. Вращающиеся кубики. – М.: Дрофа, 2002. – 168 с.

  5. http://wikipedia.tomsk.ru

  6. http://www.konenko.net/imp.htm

  7. http://www.im-possible.info/russian/articles/reut_imp/


Приложение.

Исследование усвоения геометрического материала и развития пространственных представлений у учащихся школы.

Кенгуру - выпускникам.













9 класс

 

 

 










разделы программы

2008

2009

2010










целые числа

66

80

64










числовые выражения

76

88,6

67










геометрические фигуры

25

67

67










вычисления в геометрии

33

38

54










 

 

 

 










общие умения и навыки




2009

2010










определения фактов




69

64,3










стандартные алгоритмы




67

62,1










наглядные представления




59

37,6



















 










11 класс

 

 

 

 

 




разделы программы

2006

2007

2008

2009

2010




числа

91

63

64

 

78




тождества

90

42

38

59

66




геометрические фигуры

69

31

34

30

52




вычисления в геометрии

46

32

19

23

36




 

 

 

 

 

 




общие умения и навыки







 

2009

2010




определения фактов







 

52,3

64




стандартные алгоритмы







 

58

54




наглядные представления







 

23,5

31




 

 

 

 

 

 





База данных защищена авторским правом ©refedu.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница