Пояснительная записка 3 2 Общая характеристика учебного предмета 7 3



страница3/5
Дата30.04.2016
Размер0.69 Mb.
1   2   3   4   5



Алгебра

7-9 классы (всего 420 ч)

Основное содержание по темам

Характеристика основных видов деятельности

1. Действительные числа (20 ч)

[Обзор основных фактов, связанных с делимостью

натуральных чисел: простые и составные числа, бес-

конечность множества простых чисел; единственность

разложения натурального числа на простые множите-

ли; алгоритм Евклида. Доказательство свойств и признаков делимости. Деление с остатком.]

Расширение множества натуральных чисел до

множества целых, множества целых чисел до множества рациональных. Рациональное число как отношение , где m — целое число, n — натуральное.

Степень с целым показателем.

Квадратный корень из числа. Корень третьей степени. [Понятие о корне n-й степени из числа.] Запись
корней с помощью степени с дробным показателем.

Понятие об иррациональном числе. Иррациональность числа и несоизмеримость стороны и диагонали квадрата. Десятичные приближения иррациональных чисел. [Построение на координатной прямой точек, соответствующих иррациональным числам вида , где n — натуральное число.]

Множество действительных чисел; представление
действительных чисел бесконечными десятичными

дробями. Сравнение действительных чисел. Периодические и непериодические десятичные дроби. Арифметические действия с действительными числами.]


Взаимно однозначное соответствие между
действительными числами и точками координатной
прямой. Числовые промежутки: интервал, отрезок, луч

[Решать задачи на делимость.]

Характеризовать множество целых чисел, множество

рациональных чисел, описывать соотношение между этими множествами.

Сравнивать и упорядочивать рациональные числа, вы-

полнять вычисления с рациональными числами, вычислять

значения степеней с целым показателем.

Формулировать определение квадратного корня из числа.

Использовать график функции у для нахождения


квадратных корней. Вычислять точные и приближенные

значения корней, используя при необходимости калькулятор.


Формулировать определение корня третьей степени,
находить значения кубических корней, при необходимости используя калькулятор.
Исследовать свойства квадратного корня, кубического

корня, проводя числовые эксперименты с использованием


калькулятора, компьютера.

Приводить примеры иррациональных чисел; распознавать рациональные и иррациональные числа; изображать числа точками координатной прямой.


Находить десятичные приближения рациональных и

иррациональных чисел; сравнивать и упорядочивать

Действительные числа.

Описывать множество действительных чисел. Использовать в письменной математической речи обозначения и


графические изображения числовых множеств, теоретико-множественную символику

2. Измерения, приближения, оценки (10 ч

Приближенное значение величины; точность приближения. [Абсолютная и относительная погрешности
приближения.] Размеры объектов окружающего мира
(от элементарных частиц до Вселенной), длительность
процессов в окружающем мире.
Прикидка и оценка результатов вычислений. Способы записи значений величин, в том числе с выделением множителя — степени 10 в записи числа

Находить, анализировать, сопоставлять числовые ха-
рактеристики объектов окружающего мира.
Использовать запись числа в стандартном виде для
выражения размеров объектов, длительности процессов в
окружающем мире.
Сравнивать числа и величины, записанные с использованием степени 10.
Использовать разные формы записи приближенных
значений; делать выводы о точности приближения по их
записи.
Выполнять вычисления с реальными данными.
Округлять натуральные числа и десятичные дроби.
Выполнять прикидку и оценку результатов вычислений

3. Введение в алгебру (10 ч)

Буквенные выражения (выражения с переменными). Числовое значение буквенного выражения. Допустимые значения переменных. Подстановка выражений вместо переменных.
Преобразование буквенных выражений на основе
свойств арифметических действий. Равенство буквенных выражений. Тождество

Выполнять элементарные знаково-символические
действия: применять буквы для обозначения чисел, для
записи общих утверждений; составлять буквенные выражения по условиям, заданным словесно, рисунком или
чертежом; преобразовывать алгебраические суммы и
произведения (выполнять приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок, упрощение произведений).
Вычислять числовое значение буквенного выражения;
находить область допустимых значений переменных в
выражении

4. Многочлены (50 ч)

Степень с натуральным показателем и ее свойства.
Одночлены и многочлены. Степень многочлена. Сложение, вычитание, умножение многочленов. Формулы
сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат
разности. [Куб суммы и куб разности. Представление
в виде многочлена выражений и . Треугольник Паскаля.] Формула разности квадратов.
[Формулы суммы кубов и разности кубов.] Преобразование целого выражения в многочлен.
Разложение многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки, группировка, применение формул сокращенного умножения. [Более сложные случаи разложения многочленов на множители.)
Многочлены с одной переменной. Корень многочлена. Квадратный трехчлен, разложение квадратного трехчлена на множители. [Целые корни многочлена с целыми коэффициентами.]

Формулировать, записывать в символической форме и обосновывать свойства степени с натуральным показателем; применять свойства степени для преобразования выражений и вычислений.
Выполнять действия с многочленами.
Доказывать формулы сокращенного умножения, применять их в преобразованиях выражений и в вычислениях.
Выполнять разложение многочленов на множители.
Распознавать квадратный трехчлен, выяснять возможность разложения на множители, представлять квадратный трехчлен в виде произведения линейных множителей.
[Находить целые корни многочленов с целыми коэффициентами.]
Применять различные формы самоконтроля при выполнении преобразований

5. Алгебраические дроби (30 ч)

Алгебраическая дробь. Основное свойство алгебраической дроби. Сокращение дробей. Сложение, вычитание, умножение, деление алгебраических дробей.
Степень с целым показателем и ее свойства.
Рациональные выражения и их преобразования.
Доказательство тождеств

Формулировать основное свойство алгебраической
дроби и применять его для преобразования дробей.
Выполнять действия с алгебраическими дробями;
представлять целое выражение в виде многочлена, дробное - в виде отношения многочленов; доказывать тождества.
Формулировать определение степени с целым показателем. Формулировать, записывать в символической форме и иллюстрировать примерами свойства степени с
целым показателем; применять свойства степени для преобразования выражений и вычислений.

[Выполнять преобразования рациональных выражений


в соответствии с поставленной целью: выделять квадрат
двучлена, целую часть дроби и пр. Применять преобразования рациональных выражений для решения задач.]

6. Квадратные корни (15 ч)

Понятие квадратного корня, арифметического
квадратного корня. Уравнение вида х' = а. Свойства
арифметических квадратных корней: корень из произведения, частного, степени. Тождества , где а ≥ 0, Применение свойств арифметических квадратных корней к преобразованию числовых выражений и к вычислениям.
[Преобразование выражений вида .]

Доказывать свойства арифметических квадратных корней; применять их к преобразованию выражений.
Вычислять значения выражений, содержащих квадратные корни; выражать переменные из геометрических и физических формул.
Исследовать уравнение вида = а; находить точные и приближенные корни при а > 0

7. Уравнения с одной переменной (40 ч)

Уравнение с одной переменной. Корень уравнения.
Свойства числовых равенств. Равносильность уравнений.
Линейное уравнение. [Исследование линейного уравнения.] Решение уравнений, сводящихся к линейным.
Квадратное уравнение. Неполные квадратные
уравнения. Формула корней квадратного уравнения.
Теорема Виета. Решение уравнений, сводящихся к
квадратным. Биквадратные уравнения.
Примеры решения уравнений третьей и четвертой степени с использованием методов разложения на множители [замены переменной].

Решение дробно-рациональных уравнений.

Решение текстовых задач алгебраическим способом


Проводить доказательные рассуждения о корнях
уравнения с опорой на определение корня, функциональные свойства выражений.
Распознавать линейные и квадратные уравнения, целые и дробные уравнения.
Решать линейные, квадратные уравнения, а также уравнения, сводящиеся к ним; решать дробно-рациональные уравнения. Определять наличие корней квадратных уравнений по дискриминанту и коэффициентам.
[Исследовать квадратные уравнения с буквенными
коэффициентами.]

Решать текстовые задачи алгебраическим способом:

переходить от словесной формулировки условия задачи к

алгебраической модели путем составления уравнения; решать составленное уравнение; интерпретировать результат



8. Системы уравнений (40 ч)

Уравнение с двумя переменными. Линейное уравнение с двумя переменными. Примеры решения уравнений в целых числах.

Система уравнений с двумя переменными. Равносильность систем. Система двух линейных уравнений с двумя переменными; решение подстановкой и сложением. [Примеры решения систем линейных уравнений с несколькими переменными.]

Решение систем двух уравнений, одно из которых линейное, а другое — второй степени. Примеры решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными.

Решение текстовых задач алгебраическим способом.

Декартовы координаты на плоскости. Графическая интерпретация уравнения с двумя переменными.

График линейного уравнения с двумя переменными.


Угловой коэффициент прямой; условие параллельности прямых. [Условие перпендикулярности прямых.]

Графики простейших нелинейных уравнений (парабола, гипербола, окружность).

Графическая интерпретация системы уравнений с двумя переменными.


Определять, является ли пара чисел решением данного уравнения с двумя переменными; приводить примеры решении уравнении с двумя переменными.

Решать задачи, алгебраической моделью которых является уравнение с двумя переменными, находить целые решения путем перебора. [Решать линейные уравнения и несложные уравнения второй степени с двумя переменными в целых числах.]

Решать системы двух уравнений с двумя переменными, указанные в содержании. [Решать системы уравнении с несколькими переменными.]
Решать текстовые задачи алгебраическим способом:

переходить от словесной формулировки условия задачи к

алгебраическои модели путем составления системы уравнений; решать составленную систему уравнений; интерпретировать результат.

[Исследовать системы уравнений с двумя переменными, содержащие буквенные коэффициенты.]Строить графики уравнений с двумя переменными.



Конструировать эквивалентные речевые высказывания с использованием алгебраического и геометрического языков.
Использовать функционально-графические представления для решения и исследования уравнении и систем

9. Неравенства (30 ч)

Числовые неравенства и их свойства. [Доказательство неравенств.]
Неравенство с одной переменной. Равносильность неравенств. Линейные неравенства с одной переменной. Квадратные неравенства. [Примеры решения дробно-рациональных неравенств.] Системы неравенств с одной переменной.
[Неравенство с двумя переменными. Графическая интерпретация неравенств и систем неравенств с двумя переменными.]

Формулировать свойства числовых неравенств, обосновывать их, опираясь на координатную прямую, и доказывать алгебраически; применять свойства неравенств в ходе решения задач.
[Доказывать неравенства.]
Распознавать линейные и квадратные неравенства.
Решать линейные неравенства, системы линейных неравенств. Решать квадратные неравенства.
[Изображать на координатной плоскости множества
точек, задаваемые неравенствами с двумя переменными и их системами. Описывать алгебраически области координатной плоскости.]

10. Зависимости между величинами (20 ч)

Зависимости между величинами. Представление
зависимостей между величинами в виде формул. Вычисления по формулам.
Прямая пропорциональная зависимость: задание
формулой, коэффициент пропорциональности; свойства. Примеры прямо пропорциональных зависимостей.
Обратная пропорциональная зависимость: задание формулой, коэффициент обратной пропорциональности; свойства. Примеры обратно пропорциональных зависимостей.
Решение задач на пропорциональную и обратно пропорциональную зависимости

Составлять формулы, выражающие зависимости между величинами, вычислять по формулам.
Распознавать прямую и обратную пропорциональные
зависимости.
Решать текстовые задачи на прямую и обратную про-
порциональные зависимости (в том числе с контекстом из
смежных дисциплин, из реальной жизни)

11. Числовые функции (55 ч)

Понятие функции. Область определения и множество значений функции. Способы задания функций.
График функции. Свойства функции, их отображение
на графике: возрастание и убывание функции, нули функции, сохранение знака. Чтение и построение графиков функций.
Примеры графиков зависимостей, отражающих реальные процессы.
Функции, описывающие прямую и обратную пропорциональные зависимости, их графики и свойства.
Линейная функция, ее свойства и график.
Квадратичная функция, ее график и свойства.
Степенные функции с натуральными показателями
2 и 3, их графики и свойства. Графики функций у = , у = ,

у =
[Дробно-линейная функция и ее график.]


[Параллельный перенос графиков вдоль осей координат, симметрия относительно осей координат

Вычислять значения функций, заданных формулами
(при необходимости использовать калькулятор); составлять таблицы значений функций.
Строить по точкам графики функций. Описывать
свойства функции на основе ее графического представления.
Моделировать реальные зависимости с помощью
формул и графиков. Интерпретировать графики реальных
зависимостей.
Использовать функциональную символику для записи
разнообразных фактов, связанных с рассматриваемыми
функциями, обогащая опыт выполнения знаково-символических действий. Строить речевые конструкции с использованием функциональной терминологии.
Использовать компьютерные программы для исследования положения на координатной плоскости графиков
функций в зависимости от значений коэффициентов, входящих в формулу.
Распознавать виды изучаемых функций. Показывать
схематически положение на координатной плоскости графиков функций (например,

y =kx+b в зависимости от знаков коэффициентов k и b).


Строить графики изучаемых функций; описывать их свойства.
[Строить более сложные графики на основе графиков изученных функций, например функций, заданных разными формулами на разных промежутках области определения. Строить графики функций на основе преобразований известных графиков.]

12. Числовые последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии (20 ч)

Понятие числовой последовательности. Задание
последовательности рекуррентной формулой и формулой n-гo члена. [Числа Фибоначчи.]
Арифметическая и геометрическая прогрессии.
Формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых и членов. Изображение членов арифметической и геометрической прогрессий точками координатной плоскости. Линейный и экспоненциальный рост. Сложные проценты

Применять индексные обозначения, строить речевые
высказывания с использованием терминологии, связанной с понятием последовательности.
Вычислять члены последовательностей, заданных формулой и-ro члена или рекуррентной формулой. Устанавливать закономерность в построении последовательности, если выписаны первые несколько ее членов. Изображать члены последовательности точками на координатной плоскости.
Распознавать арифметическую и геометрическую прогрессии при разных способах задания. Выводить на основе доказательных рассуждений формулы общего
члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых и членов арифметической и геометрической прогрессий; решать задачи с использованием этих формул.
Рассматривать примеры из реальной жизни, иллюстрирующие изменение в арифметической прогрессии, в
геометрической прогрессии; изображать соответствующие
зависимости графически.
Решать задачи на сложные проценты, в том числе задачи из реальной практики (с использованием калькулятора)


13. Описательная статистика (15 ч)

Представление данных в виде таблиц, диаграмм,
графиков. Случайная изменчивость. Статистические характеристики набора данных: среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах, дисперсия. Репрезентативные и нерепрезентативные выборки

Извлекать информацию из таблиц и диаграмм, выполнять вычисления по табличным данным. Определять по диаграммам наибольшие и наименьшие данные, сравнивать величины.
Организовывать информацию в виде таблиц, столбчатых и круговых диаграмм, в том числе с помощью компьютерных программ.
Приводить примеры числовых данных (цена, рост, время на дорогу), находить средние значения, размах, дисперсию числовых наборов.
Приводить содержательные примеры использования средних значений и дисперсии для описания данных (уровень воды в водоеме, спортивные показатели, определение границ климатических зон)

14. Случайные события и вероятность (20 ч)

Понятие о случайном опыте и случайном событии.
Элементарные события. Частота случайного события.
Статистический подход к понятию вероятности. Несовместные события. Формула сложения вероятностей.
Вероятности противоположных событий. Независимые события. Умножение вероятностей. Достоверные и невозможные события. Равновозможность событий.
Классическое определение вероятности.
[Испытания Бернулли. Вероятности событий в серии испытаний Бернулли.]

Проводить случайные эксперименты, в том числе с помощью компьютерного моделирования, интерпретировать их результаты. Вычислять частоту случайного события; оценивать вероятность с помощью частоты, полученной опытным путем. Приводить примеры достоверных и невозможных событий. Объяснять значимость маловероятных событий в зависимости от их последствий.
Решать задачи на нахождение вероятностей событий.
Приводить примеры противоположных событий. Использовать при решении задач свойство вероятностей противоположных событий

15. Элементы комбинаторики (15 ч)

Решение комбинаторных задач перебором вариантов. Комбинаторное правило умножения. Перестановки и факториал.


Выполнять перебор всех возможных вариантов для пересчета объектов или комбинаций.
Применять правило комбинаторного умножения для решения задач на нахождение числа объектов или комбинаций (диагонали многоугольника, рукопожатия, число кодов, шифров, паролей и т. п.).

Распознавать задачи на определение числа перестановок и выполнять соответствующие вычисления.


Решать задачи на вычисление вероятности с применением комбинаторики


16. Множества. Элементы логики (10 ч)

Множество, элемент множества. Задание множеств
перечислением элементов, характеристическим свойством. Стандартные обозначения числовых множеств.
Пустое множество и его обозначение. Подмножество.
Объединение и пересечение множеств, разность множеств. [Законы Моргана.] [Понятие о классификации.]
Иллюстрация отношений между множествами с
помощью диаграмм Эйлера — Венна.
Определение. Аксиомы и теоремы. Доказательство. Доказательство от противного. Теорема, обратная
данной. Пример и контрпример.
Понятие о равносильности, следовании, употребление логических связок если ..., то ..., в том и только
в том случае., и, или.
[Необходимое и достаточное условие.]

Приводить примеры конечных и бесконечных множеств. Находить объединение и пересечение конкретных
множеств, разность множеств. Приводить примеры несложных классификаций.
Использовать теоретико-множественную символику и
язык при решении задач в ходе изучения различных разделов курса.
Воспроизводить формулировки определений;
конструировать несложные определения самостоятельно.
Воспроизводить формулировки и доказательства изученных теорем, проводить несложные доказательства самостоятельно, ссылаться в ходе обоснований на определения, теоремы, аксиомы.
Иллюстрировать математические понятия и утверждения примерами. Использовать примеры и контрпримеры в аргументации.
Конструировать математические предложения с помощью логических связок если ..., то ..., в том и только в
том случае, и, или


Резерв времени 15 ч
1   2   3   4   5


База данных защищена авторским правом ©refedu.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница