Решение. В первом кувшине стало 1,2 л смеси, в которой молоко составило , а кофе



Скачать 91.84 Kb.
Дата27.06.2016
Размер91.84 Kb.
Решения заданий по математике олимпиады вузов Росрыболовства

среди учащихся 9 классов 2012-13 уч. год

II тур.
Задача 1. В первом кувшине был 1 литр кофе, а во втором ─ 1 литр молока. Из второго кувшина в первый Малыш перелил стакан молока, объёмом 0,2 л, и хорошо размешал содержимое кувшина. После этого Карлсон из первого кувшина во второй перелил такой же стакан содержимого. Чего больше: молока в кофе или кофе в молоке?
Решение.

В первом кувшине стало 1,2 л смеси, в которой молоко составило ,

а кофе составило  .

Во втором кувшине осталось 0,8 л молока и добавили 0,2 л смеси, в которой кофе было 0,2



Ответ: одинаково.
Задача 2. В угол величиной вписаны 2013 окружностей, так что каждая последующая, начиная со второй, касается предыдущей. Радиусы окружностей:   Во сколько раз площадь круга с радиусом  больше площади круга с радиусом ?
Решение.

Рассмотрим две последовательные окружности, вписанные в данный угол с центрами О1 и О2.

В треугольнике А О1В : О1L= О1В=. Обозначим АL=х. Угол АВО1 равен , угол ВАО1 равен  , поэтому АО1=х+=2, следовательно 

В треугольнике А О2С: О2С= АО2=3+=2, то есть =3.

Таким образом, радиусы последовательных окружностей образуют геометрическую прогрессию со знаменателем равным 3, ⟹ =27.

Площадь круга с радиусом  больше площади круга с радиусом  в  =729 раз.


Ответ: 729.

Задача 3. Найти все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению

х22+2у+9.


Решение.
Перепишем уравнение в виде х2 – (у+1)2 =8, или (х – у – 1)(х +у+1)=8.

Следовательно, выражения, стоящие в скобках должны быть целыми числами, произведение которых равно 8. Составляем соответствующие системы уравнений:



  1.  , 2) ,


 , 4) ,
5)  , 6),
7)  , 7) .
Перебирая решения систем, находим пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению: ( -3, -2); (-3,0); (3,0); (3,-2).

Ответ: ( -3, -2); (-3,0); (3,0); (3,-2).

Задача 4. При каких значениях параметра а уравнение =а имеет единственное решение?
Решение.
Если значения переменных х=х0 ; у=у0 являются решениями данного уравнения, то значения х=-х0 ; у=-у0 также являются решениями данного уравнения. Поэтому данное уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда х=у=0.

При подстановке в уравнение х=у=0 получим =a , откуда следует, что а=0 или а=2.

Проверим эти значения а.

При а=0 уравнение примет вид =0. Это уравнение имеет только единственное решение х=у=0.

Следовательно, при а=0 уравнение имеет единственное решение.

При а=2 уравнение примет вид =2.

Возведя обе части в квадрат, получим  Это уравнение имеет решение х=у=0. Проверим, есть ли у данного уравнения другие решения. Если х, то уравнение можно разделить на и привести к виду


Откуда получаем .

Подставляя вместо х различные числовые значения будем находить соответствующие значения у. Например, если х=1; ,

или х=1; .

Таким образом, при а=2 уравнение имеет бесконечно много решений.



Ответ: а=0.

Задача 5. В трапеции ABCD точка К лежит на боковой стороне ВС, ВК=3СК. Диагональ ВD пересекает отрезок АК в точке О, АО=4ОК. Найти площадь треугольника АОВ, если площадь треугольника АОD равна 5.
Решение.

Пусть h, t и d , соответственно, высоты треугольников AOB, ADB, AKB. Тогда ;



;
  ,. Аналогично,  , t=.

Подставим эти значения для h и t в формулы для вычисления , получим:


.

Отсюда находим, .





Ответ: 7,5.

Решение заданий по математике олимпиады вузов Росрыболовства

среди учащихся 10 классов 2012-13 уч. год

II тур.
Задача 1. Маршрутное такси считается переполненным, если в нём находится более 13 пассажиров. Два инспектора ДПС остановили для проверки ряд маршрутных такси. Инспектор Малышкин подсчитал процент переполненных такси, а инспектор Деточкин подсчитал процент пассажиров, едущих в переполненных такси. У кого процент больше?
Решение.
Пусть среди проверенных оказалось х переполненных и у непереполненных такси. Обозначим количество пассажиров, едущих в переполненных такси М, а количество остальных пассажиров через N.

Тогда М>13х, N≤ 13y. Поэтому  ,  .

Из полученного неравенства вытекает следующее:

 или  .

Откуда


В полученном неравенстве слева стоит процент пассажиров, едущих в переполненных такси, справа ─ процент переполненных такси. У Деточкина процент больше.



Задача 2. Дан набор, состоящий из 2013чисел таких, что если каждое число в наборе заменить на сумму остальных, то получится тот же набор. Докажите, что произведение чисел в наборе равно 0.
Решение.
Пусть сумма чисел в наборе равна S, тогда число х из набора заменяется на число у = S - х. Просуммируем эти равенства для всех х:

у12+……+у2013=2013S - (х12+……+х2013).

Отсюда следует, что S=0, так как

у12+……+у2013 = х12+……+х2013 = S.

Значит, для любого х число у= - х также входит в набор и числа разбиваются на пары х, -х. Из нечётности их количества следует , что в набор входит число х=-х, то есть х=0. Таким образом, произведение чисел в наборе равно 0.

Задача 3. В трапеции ABCD точка К лежит на боковой стороне ВС, ВК=3СК. Диагональ ВD пересекает отрезок АК в точке О, АО=4ОК. Найти площадь треугольника АОВ, если площадь треугольника АОD равна 5.
Решение.

Пусть h, t и d , соответственно, высоты треугольников AOB, ADB, AKB. Тогда ;



;
  ,. Аналогично,  , t=.

Подставим эти значения для h и t в формулы для вычисления , получим:


.

Отсюда находим, .





Ответ: 7,5.
Задача 4. Показать, что корни уравнения  являются также корнями уравнения 
Решение.

Пусть х является корнем уравнения . Возведём равенство в квадрат, получим или .

Возведём полученное равенство в квадрат, получим

или 

Задача 5. Найти все значения параметра а, при которых уравнение

 имеет нечётное число решений.
Решение.

Так как сумма модулей равна 0, то это возможно, только если оба выражения, стоящие под знаком модуля равны 0.



.

С геометрической точки зрения первое уравнение задаёт окружность с центром в (0;0) радиуса . Второе уравнение задаёт график следующей функции, вершина которой находится в точке (3,4):

Рассмотрим случаи, когда графики функций  и  имеют нечётное число точек пересечения.
1.Одна точка пересечения возможна в случае:
Окружность касается левой части графика функции и не имеет общих точек с правой частью графика. Эта ситуация сводится к случаю, когда система  имеет единственное решение. Или

 или . =0 . Откуда находим =, х=.
2.Три точки пересечения возможны в случае: окружность пересекает левую часть графика функции в двух точках и касается правой части графика.

Эта ситуация сводится к случаю, когда система 

имеет единственное решение.

 или . =0 . Откуда находим =. Проверим, что расстояние от вершины (3,4) до точки (0,0) равно 5.
3. Три точки пересечения возможны в случае: окружность проходит через точку (3;4), то есть = 25.


Ответ: =; =;= 25.

Решение заданий по математике олимпиады вузов Росрыболовства

среди учащихся 11 классов 2012-13 уч. год

II тур.
Задача 1. Найти вероятность того, что случайным образом выбранное трёхзначное число при делении на 13 даёт в остатке 5.
Решение.

Всего трёхзначных чисел 900. Найдём, сколько из них при делении на 13 даёт в остатке 5. Такие числа образуют арифметическую прогрессию: первый член а1=109, разность d=13, последний член аn=993. Используя формулу

993= 109 + 13(n-1), найдём n=69. Поэтому искомая вероятность

.

Ответ:.
Задача 2. Маршрутное такси считается переполненным, если в нём находится более 13 пассажиров. Два инспектора ДПС остановили для проверки ряд маршрутных такси. Инспектор Малышкин подсчитал процент переполненных такси, а инспектор Деточкин подсчитал процент пассажиров, едущих в переполненных такси. У кого процент больше?
Решение.
Пусть среди проверенных оказалось х переполненных и у непереполненных такси. Обозначим количество пассажиров, едущих в переполненных такси М, а количество остальных пассажиров через N.

Тогда М>13х, N≤ 13y. Поэтому  ,  .

Из полученного неравенства вытекает следующее:

 или  .

Откуда


В полученном неравенстве слева стоит процент пассажиров, едущих в переполненных такси, справа ─ процент переполненных такси. У Деточкина процент больше.


Задача 3. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

имеет три решения.


Решение.
Уравнение можно переписать в виде
,
то есть в виде f(t1) = f(t2),

где f(t)= , t1 = , t2 =.

Так как функция f(t) монотонно возрастает, то исходное уравнение равносильно равенству t1 = t2, или = . Отсюда (х1)2 =.

Это уравнение имеет три корня при тех значениях параметра а, когда парабола у = (х1)2 либо проходит через вершину угла графика функции у=, пересекая его стороны по одному разу (а =1),

либо касается одной стороны угла и пересекает дважды другую сторону угла (а =0,5; а =1,5 ).




Ответ: 0,5; 1; 1,5.
Задача 4. Через вершину прямого кругового конуса проведено сечение максимальной площади. Известно, что площадь этого сечения в два раза больше площади осевого сечения. Найти угол при вершине осевого сечения.
Решение.

Любое из рассматриваемых сечений представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны образующей конуса. Поэтому наибольшую площадь имеет то сечение, у которого наибольшее значение принимает синус угла при вершине. Если угол при вершине осевого сечения острый или прямой, то наибольшую площадь принимает осевое сечение. Если этот угол тупой, то наибольшую площадь имеет сечение – прямоугольный треугольник. Следовательно, sinα= 0,5. Откуда находим, α =.



Ответ: α =.
Задача 5. Дан набор, состоящий из 2013чисел таких, что если каждое число в наборе заменить на сумму остальных, то получится тот же набор. Докажите, что произведение чисел в наборе равно 0.
Решение.
Пусть сумма чисел в наборе равна S, тогда число х из набора заменяется на число у = S - х. Просуммируем эти равенства для всех х:

у12+……+у2013=2013S - (х12+……+х2013).

Отсюда следует, что S=0, так как

у12+……+у2013 = х12+……+х2013 = S.



Значит, для любого х число у= - х также входит в набор и числа разбиваются на пары х, -х. Из нечётности их количества следует , что в набор входит число х=-х, то есть х=0. Таким образом, произведение чисел в наборе равно 0.


База данных защищена авторским правом ©refedu.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница