Задача по стохастике впервые была включена в 2012 году. Ниже приведена общая характеристика задания



страница1/5
Дата30.04.2016
Размер0.74 Mb.
  1   2   3   4   5




Элементы комбинаторики, статистики и теориивероятностей

В контрольно-измерительные материалы ЕГЭ задача по стохастике впервые была включена в 2012 году. Ниже приведена общая характеристика задания.

ТРЕБОВАНИЯ: Моделировать реальные ситуации на языке теориивероятностей и статистики, вычислять в простейших случаяхвероятности событий
СОДЕРЖАНИЕ:

Элементы комбинаторики

6.1.1 Поочередный и одновременный выбор

6.1.2 Формулы числа сочетаний и перестановок. Бином Ньютона

Элементы статистики

6.2.1 Табличное и графическое представление данных

6.2.2 Числовые характеристики рядов данных

Элементы теории вероятностей

6.3.1 Вероятности событий

6.3.2 Примеры использования вероятностей и статистики при решении прикладных задач

ПРИМЕРНОЕ ВРЕМЯ РЕШЕНИЯ:

БАЗОВЫЙ уровень подготовки: 10 мин

ПРОФИЛЬНЫЙ уровень подготовки: 3 мин

ПРИМЕР ЗАДАНИЯ (из демоверсии работы)

В10. В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из нихвстречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся одинслучайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того,что в этом билете не будет вопроса о грибах.

ПРИМЕР задания В10, предлагавшегося на экзамене в 2012 году.

В чемпионате по гимнастике участвуют 70 спортсменок: 25 из США, 17 из Мексики, остальные из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.


По результатам аналитического отчета ФИПИ за 2012 год, выше ожидаемого (80% вместо предполагаемых 50–60%) оказался процент выполнения задания В10 по теории вероятностей,что показывает своевременность начала проверки освоения указанного разделав экзамене. За прошедшие 8 лет с момента формального появления указанного раздела в ФГОС, реально произошло эффективное включение преподавания данного раздела в школьную практику, содержание экзаменационных заданий было отработано в ходе текущего контроля, диагностических работ, а также в ходе эксперимента в экзаменевновойформе(ГИА)в 9 классе.

В качестве рекомендаций на 2013 год разработчики КИМ ЕГЭ предлагают изучение теории вероятностей и статистики вести с расчетомна практическое применение. Изучение теории вероятностей с акцентом на подсчет вероятностей с помощью формул комбинаторики без реального понимания их смысла приводит к имитации знаний, неумению решать практические задачи, грубым ошибкам вприменении формул. Следует сосредоточиться на решении простейших задач с небольшим числом вариантов, где возможно явное описание и анализ ситуации.

Предлагаем изучить методические аспекты обучения школьников решению комбинаторных задач, используя материалы, ранее изложенные в книге «Элементы стохастики в в курсе математики основной школы. Часть1. Методика обучения решению простейших комбинаторных задач: Учебно-методическое пособие / Авторы-составители Н.А.Цыпленкова, Е.А.Комарова / Под ред. Н.А.Цыпленковой. - Вологда: Издательский центр ВИРО, 2008.

Решение комбинаторных задач методом перебора

Система комбинаторных задач для учащихся V-VI классов включает в себя в первую очередь задачи с конкретным содержанием. Рассматриваются множества с небольшим количеством элементов, чтобы учащиеся могли легко составить, выписать и пересчитать требуемые комбинации элементов, т.е. использовать метод перебора при решении задач. При решении задач методом перебора учащиеся должны следить, чтобы ни одна комбинация не была написана дважды или пропущена, т.е. пользоваться определенной системой при переборе.

Учитель должен обратить особое внимание на поиск удобного способа перебора. При этом можно использовать кодирование, таблицы, схемы, рисунки, графы и дерево возможных вариантов.

Рассмотрим несколько конкретных примеров поиска удобного способа перебора.



1. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 0; 3; 5. Цифры в записи числа могут повторяться.

Решение. В разряде десятков может стоять одна из двух данных цифр: 3 или 5. Цифра 0 не может быть использована в записи числа на первом месте (слева). В разряд единиц можно поставить любую из данных цифр. Получаем:



30;

33;

35;

50;

53;

55.

Других вариантов нет.

2. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 2; 4; 6. Цифры в записи числа не должны повторяться.

Решение. На первом месте (слева) может стоять любая из данных цифр, а в разряд единиц можно поставить любую из оставшихся двух цифр, кроме использованной в разряде десятков. Получаем:



24;

26;

42;

46;

62;

64.

Других вариантов нет.



3. Сколько трехзначных чисел можно записать только с помощью цифр 7 и 8?

Решение. Выпишем все трехзначные числа, в записи которых использованы только цифры 7 и 8 в следующем порядке:

в записи числа нет цифры 7: 888;

в записи числа есть только одна цифра 7 (она может стоять в любом разряде): 788; 878; 887;

в записи числа есть ровно две цифры 7 (т.е. только одна цифра 8): 877; 787; 778;

в записи числа использована только цифра 7: 777.

Других вариантов нет.

Ответ: 8 чисел.



4. На огороде вскопали три грядки. На одной хотят посадить капусту, на другой – морковь, на третьей – свеклу. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Для краткости будем называть вместо полного названия овощей первую букву: К, М, С. Такую замену условными обозначениями часто называют кодированием. Возможны следующие способы посадки овощей:

КМС, КСМ;

МКС, МСК;

СМК, СКМ.

Других вариантов нет.

Ответ: 6 вариантов.

5. Из четырех теннисистов нужно выбрать двоих для участия в соревнованиях. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Для удобства используем кодирование с помощью нумерации и запишем все возможные варианты выбора двух теннисистов из теннисистов 1; 2; 3; 4. Учитывая, что выбор 12, например, одинаков с выбором 21 (порядок выбора теннисистов в паре не важен). Получаем:



12

13

14




23

24







34

Других вариантов нет.

Ответ: 6 вариантов.


6. Из четырех человек надо выбрать двух дежурных в классе, причем один из них будет поливать цветы, а другой следить за чистотой доски. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Запишем все возможные варианты выбора дежурных с разными обязанностями, используя кодирование с помощью нумерации:




12,

13,

14,

21,

23,

24,

31,

32,

34,

41,

42,

43.

Других вариантов нет.

Ответ: 12 вариантов.


7. Трое господ при входе в ресторан отдали швейцару свои шляпы, а при выходе получили их обратно. Сколько существует вариантов, при которых каждый из них получит чужую шляпу? (задача Л.Эйлера).

Решение. Закодируем господ и их шляпы с помощью нумерации. Выпишем все возможные варианты получения шляп с помощью таблицы:



Господа

Шляпы

1

1

1

2

2

3

3

2

2

3

1

3

1

2

3

3

2

3

1

2

1

Нас устраивают варианты 231 и 321.

Ответ: 2 варианта.



8. Женя, Дима, Максим и Алеша обменялись рукопожатиями. Сколько всего рукопожатий было сделано?

М

А



Д

Ж

ММрис. 1



Решение. Обозначим приятелей кружками (рис. 1), тогда отрезки их соединяющие – рукопожатия. Заметим, что когда Дима пожимает руку Жене, то это значит, что и Женя пожимает руку Диме. Эти рукопожатия считаем за одно.

Ответ: 6 рукопожатий.

М

А

Ж



Д

А

рис. 2



9. Женя, Дима, Максим и Алеша обменялись фотографиями. Сколько всего фотографий было передано из рук в руки?

Ответ: 12 фотографий (рис. 2).



10. Сколько различных четырехзначных чисел можно записать с помощью цифр 1 и 2?

Проиллюстрируем решение с помощью схемы (рис. 3). Число кружков на нижней линии равно числу искомых четырехзначных чисел. Каждая ветвь построенной схемы описывает одно из возможных чисел, удовлетворяющих условию задачи.

1 и 2

1

1



1

1

1



1

1

1



2

2

2

2

2

2

2

2

1



1

1

1



1

1

2



2

2

2

2

2

2

Исходные данные

Выбор первой цифры числа

Выбор второй цифры числа

Выбор третьей цифры числа

Выбор четвертой цифры числа

1

рис. 3



Каждая ветвь построенной схемы описывает одно из возможных чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: 16 чисел.

Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда название – дерево возможных вариантов. При правильном построении дерева ни один из возможных вариантов не будет потерян. Построение дерева возможных вариантов дает единый подход к решению самых разнообразных комбинаторных задач.

11. Сколько всего различных чисел, в записи которых число десятков меньше числа единиц и все цифры нечетные?

Решение. Построим дерево возможных вариантов (рис. 4)

1; 3; 5; 7; 9

1

3



3

53

53



53

73

73



73

73

93



93

93

93



93

Исходные данные

Выбор цифры в разряде десятков

Выбор цифры в разряде единиц

рис. 4

Итак, перед нами нередко возникают проблемы, которые имеют не одно, а несколько возможных решений. Обычно только одно из них (или несколько) нас устраивает, а другие – нет. Чтобы сделать верный выбор, надо рассмотреть все возможные варианты решения. А для этого, прежде всего, надо уметь выбрать удобный способ перебора возможных вариантов. Формирование этого умения обеспечивается, например, при решении методом перебора следующих задач.



1. Запишите все двухзначные числа, в записи которых используются только цифры 2, 3, 5. Цифры в записи числа не должны повторяться.

Ответ: 23, 25, 32, 35, 52, 53.



2. Решите предыдущую задачу при условии, что цифры в записи числа могут повторяться.

Ответ: 22, 23, 25, 32, 33, 35, 52, 53, 55.

3. Сколько различных трехзначных чисел можно записать только с помощью цифр 5 и 2?

Решение. Выпишем получаемые числа в следующем порядке:

в записи числа нет 5: 222,

в записи числа одна 5: 225, 252, 522,

в записи числа две 5: 255, 525, 552,

в записи числа нет 2: 555.

Ответ: 8 чисел.

4. Сколько различных четырехзначных чисел можно записать только с помощью 0 и 9?

Ответ: 8 чисел: 9999, 9990, 9909, 9099, 9900, 9090, 9009, 9000.



5. Выбирая попарно числа из данных: 3, 8, 11, 19, запишите всевозможные дроби и выберите среди них а) правильные дроби; б) неправильные дроби.

Ответ: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; . а) ; ; ; ; ; ; б) ; ; ;; ; ;; ; ; .



6. Сколько различных трехзначных чисел можно записать только с помощью цифр 1, 2, 3, не повторяя одинаковых цифр в числах?

Ответ: 6 чисел: 123, 132, 213, 231, 321, 312.



7. Сколькими способами три девочки – Аня, Таня и Саня могут занять очередь в кассу?

Решение. Для краткости будем называть вместо полного имени девочек первую букву: А, Т, С. Возможны следующие способы: АТС, АСТ, САТ, СТА, ТАС, ТСА.

Ответ: 6 способов.

8. Для двух своих книг Вася купил три различные обложки: зеленую, красную и синюю. Сколькими способами он может обернуть книги имеющимися обложками?

Ответ: 6 способов: ЗК, ЗС, КЗ, КС, СЗ, СК (Первая буква в паре соответствует цвету первой книги, вторая – второй книги).


9. У Оли три кофточки: белая, розовая и голубая и две юбки: черная и синяя. Какие комплекты из кофты и юбки может она образовать? Сколько их будет?

Ответ: 6 комплектов: ЧБ, ЧР, ЧГ, СБ, СР, СГ (первая буква в паре соответствует цвету юбки, вторая – цвету кофточки).



10. В продаже имеются красные, синие, желтые и зеленые шары. Сколькими способами Миша и Коля могут купить себе по шару? Перечислите возможные способы.

Ответ: 16 способов: КК; КС; КЗ; КЖ; СК; СС; СЗ; СЖ; ЗК; ЗС; ЗЖ; ЗЗ; ЖЖ; ЖЗ; ЖК; ЖС (первая буква в паре соответствует цвету шара Миши, вторая – Коли).



11. Завтрак состоит из двух блюд. В качестве первого блюда предлагаются сосиски, каша, пельмени, в качестве второго – чай, кофе, молоко. Какие завтраки можно составить из этих блюд? Запишите все возможные комбинации, обозначив каждое блюдо первой буквой. Сколько их?

Ответ: 9 завтраков: СЧ, СК, СМ, КЧ, КК, КМ, ПЧ, ПК, ПМ (первая буква в паре соответствует выбору блюда, вторая – выбору напитка).



12. В магазине продаются полотенца трех видов: в полоску, клетку и горошек. Сколько существует вариантов покупки двух полотенец?

Ответ: 6 вариантов: ПП, ПК, ПГ, ГК, ГГ, КК.



13. В четверг в I классе должно быть три урока: русский язык, математика и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день?

Ответ: 6 вариантов: РФМ, РМФ, МФР, МРФ, ФРМ, ФМР.



14. Из пяти шахматистов класса нужно выбрать двоих для участия в школьных соревнованиях. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: 10 способов: 12, 13, 14, 15, 23, 24, 25, 34, 35, 45.



15. Из пяти человек надо выбрать секретаря и президента собрания. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: 20 способов: 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54 (первая справа цифра в паре соответствует выбору секретаря, вторая – выбору председателя).



16. Сколькими способами можно выбрать 3 плитки шоколада, если имеются два сорта: «Улыбка» и «Аленушка».

Решение. Выпишем всевозможные комбинации, обозначая плитки шоколада первой буквой названия: УУУ, УУА, УАА, ААА.

Ответ: 4 способа.

17. Пять товарищей решили обменяться фотографиями. Сколько потребуется фотографий?

Решение. Каждый из пяти товарищей должен подарить 4 фотографии. Значит, всего потребуется фотокарточек.

1

5



4

2

3



рис. 5
18. Встретились 5 товарищей и решили сыграть друг с другом в шашки по одному. Сколько всего партий они должны сыграть?

Решение. Первый способ: нарисуем пять кружков – это шашисты (рис. 5). Первый кружок надо соединить со всеми четырьмя оставшимися кружками (каждая линия соответствует сыгранной партии). Второй кружок будет связан новыми линиями только с тремя кружками, третий – с двумя, от четвертого придется провести только одну новую линию, от пятого – ни одной. Тогда всего должно быть сыграно 4 + 3 + 2 + 1 = 10 партий.

Второй способ: каждый из пяти товарищей должен сыграть 4 партии. Но, когда Иванов играет партию в шашки с Петровым, то и Петров играет с Ивановым. Поэтому партий сыграно вдвое меньше, чем , т.е. 10 партий.

Ответ: 10 партий.



19. Несколько приятелей при встрече пожали друг другу руки. Сколько встретилось приятелей, если рукопожатий было 10?

Решение . Решим задачу методом перебора. Будем строить схему рукопожатий до тех пор, пока число рукопожатий не будет равно10. Приятелей обозначим кружочками.

рис. 6

1) Пусть встретились два человека. Когда Коля поджимает руку Пете, то это значит, что и Петя пожимает руку Коле. Эти два рукопожатия считаем за одно (рис. 6).



2) Пусть встретились три человека (рис. 7). Было сделано три рукопожатия.

рис. 7


рис. 8

3) Пусть встретились 4 человека (рис. 8). Было сделано шесть рукопожатий.

рис. 9


рис. 7

рис. 7

рис. 7

рис. 7

рис. 7

рис. 7

рис. 7
4) Пусть встретились пять человек (рис. 9). Было сделано десять рукопожатий.

Ответ: 5 человек.

Задачу можно решить и с помощью уравнения. Пусть встретились х человек. Тогда каждый пожал руку человеку. Всего было сделано рукопожатий. Так как рукопожатий было 10, составим уравнение: или . Подбором легко найти, что .

Ответ: 5 человек.



20. Из города А в город В ведут три дороги, а из города В в город С – 4 дороги. Сколькими способами можно из города А проехать в город С через город В?

Решение. Построим дерево возможных вариантов (рис. 10).

Возьмем одну из дорог, ведущих из города А в город В. Ее можно продолжить до города С четырьмя различными способами. То же самое можно сделать и с каждой из оставшихся двух дорог, ведущих из города А в город В. Всего из А в С через В ведут 12 дорог.

город А


город В

город С


рис. 10

Ответ: 12 дорог.
  1   2   3   4   5


База данных защищена авторским правом ©refedu.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница