Задача поиска оптимальных условий протекания процессов; задача определения оптимальных составов различных веществ



Скачать 448.48 Kb.
страница1/3
Дата30.04.2016
Размер448.48 Kb.
  1   2   3
Введение

Математические методы планирования эксперимента – это новый кибернетический подход к инженерным исследованиям, имеющим экспериментальный характер.

Внедрение математических методов планирования эксперимента позволяет в значительной степен исключить слепой хаотический поиск, заменить его научно обоснованной программой проведения экспериментального исследования, включающей объективную оценку результатов эксперимента на всех последовательных этапах исследования.

Отметим список задач, которыми занимается планирование эксперимента:



  1. задача поиска оптимальных условий протекания процессов;

  2. задача определения оптимальных составов различных веществ;

  3. задача выявление наиболее влияющих факторов;

  4. задача отыскания механизма процессов.

Даже при не полном знании о механизме процесса путём направленного эксперимента можно получить его математическую модель.

Можно сказать, что там, где есть эксперимент, имеет место и наука о его проведении – планирование эксперимента. На какие вопросы даёт ответ планирование эксперимента:



  • как обработать априорную информацию;

  • сколько и каких опытов надо провести;

  • как обработать результаты.

Следовательно, задача, которой занимается планирование эксперимента, может быть сформулирована так: "Сколько и каких опытов следует провести и как обработать их результаты, чтобы ответить на заранее заданный вопрос с заранее заданной точностью при минимальном возможном числе опытов". Эта вечная для экспериментатора задача, которая решалась обычно интуитивными методами, теперь поставлена на научную основу [1, с.].

Известно, что новая наука может возникнуть, если существует объективная необходимость ее появления и имеется предмет новой науки, представляющий общенаучный интерес. Сказанное в полной мере относится и к теории планирования эксперимента. Предмет исследования этого научного направления – эксперимент. Однако особенности планирования, постановки эксперимента рассматриваются и в физике, и в химии, и в прикладных науках. Для того чтобы эксперимент стал предметом исследования отдельного научного направления, необходимо, чтобы он характеризовался некоторыми чертами, общими для любого эксперимента независимо от того, в какой конкретной области знаний эксперимент проводится. Такими общими чертами эксперимента является необходимость:

1) контролировать любой эксперимент, т.е. исключать влияние внешних переменных, не принятых исследователем по тем или иным причинам к рассмотрению;

2) определять точность измерительных приборов и получаемых данных;

3) уменьшать до разумных пределов число переменных в эксперименте;

4) составлять план проведения эксперимента, наилучший с той или иной точки зрения;

5) проверять правильность полученных результатов и их точность;

6) выбирать способ обработки экспериментальных данных и форму представления результатов;

7) анализировать полученные результаты и давать их интерпретацию в терминах той области, где эксперимент проводится[3, с. 5-6].

Планирование экспериментов имеет следующие цели:



  • сокращение общего времени моделирования при соблюдении требований к точности и достоверности результатов;

  • увеличение информативности каждого наблюдения;

  • создание структурной основы процесса исследования.

Таким образом, целью любого эксперимента является получение информации об исследуемом объекте. План эксперимента на компьютере представляет собой метод получения с помощью эксперимента необходимой информации.

Таким образом, проблема проведения эксперимента с минимальными затратами и высокоэффективным использованием средств вычислительной техники весьма актуальна. Изучение сложных объектов, являющихся по своей природе стохастическими, возможна лишь с помощью методов планирования и обработки результатов эксперимента.



  1. История возникновения планирования эксперимента

Возникновение современных статистических методов планирования эксперимента связано с именем Р. Фишера.

С 1918 г. он начал свою известную серию работ на Рочемстедской агробиологической станции в Англии. В 1935 г. появилась его монография «Design of Experiments Дизайн экспериментов», давшая название всему направлению.

Среди методов планирования первым был дисперсионный анализ (кстати, Фишеру принадлежит и термин «дисперсия»). Фишер создал основы этого метода, описав полные классификации дисперсионного анализа (однофакторный и многофакторный эксперименты) и неполные классификации дисперсионного анализа без ограничения и с ограничением на рандомизацию. При этом он широко использовал латинские квадраты и блок-схемы. Вместе с Ф. Йетсом он описал их статистические свойства. В 1942 г. А. Кишен рассмотрел планирование по латинским кубам, которое явилось дальнейшим развитием теории латинских квадратов.

Затем Р. Фишер независимо опубликовал сведения об ортогональных гипер-греко-латинских кубах и гиперкубах. Вскоре после этого (1946-1947 гг.) Р. Рао рассмотрел их комбинаторные свойства. Дальнейшему развитию теории латинских квадратов посвящены работы X. Манна (1947-1950 гг.).

Исследования Р. Фишера, проводившиеся в связи с работами по агробиологии, знаменуют начало первого этапа развития методов планирования эксперимента. Фишер разработал метод факторного планирования. Йегс предложил для этого метода простую вычислительную схему. Факторное планирование получило широкое распространение. Особенностью полного факторного эксперимента является необходимость ставить сразу большое число опытов.

В 1945 г. Д. Финни ввел дробные реплики от факторного эксперимента. Это позволило резко сократить число опытов и открыло дорогу техническим приложениям планирования. Другая возможность сокращения необходимого числа опытов была показана в 1946 г. Р. Плакеттом и Д. Берманом, которые ввели насыщенные факторные планы.

В 1951 г. работой американских ученых Дж. Бокса и К. Уилсона начался новый этап развития планирования эксперимента.

Эта работа подытожила предыдущее. В ней ясно сформулирована и доведена до практических рекомендаций идея последовательного экспериментального определения оптимальных условий проведения процессов с использованием оценки коэффициентов степенных разложений методом наименьших квадратов, движения по градиенту и отыскания интерполяционного полинома (степенного ряда) в области экстремума функции отклика («почти стационарной» области).

В 1954-1955 гг. Дж. Бокс, а затем Дж. Бокс и П. Юл показали, что планирование эксперимента можно использовать при исследовании физико-химических механизмов процессов, если априори высказаны одна или несколько возможных гипотез. Здесь планирование эксперимента пересекалось с исследованиями по химической кинетике. Интересно отметить, что кинетику можно рассматривать как метод описания процесса с помощью дифференциальных уравнений, традиции которого восходят к И. Ньютону. Описание процесса дифференциальными уравнениями, называемое детерминистическим, нередко противопоставляется статистическим моделям.

Бокс и Дж. Хантер сформулировали принцип ротатабельности для описания «почти стационарной» области, развивающейся в настоящее время в важную ветвь теории планирования эксперимента. В той же работе показана возможность планирования с разбиением на ортогональные блоки, указанная ранее независимо де Бауном.

Дальнейшим развитием этой идеи было планирование, ортогональное к неконтролируемому временному дрейфу, которое следует рассматривать как важное открытие в экспериментальной технике - значительное увеличение возможностей экспериментатора.

2.Подготовка и анализ данных

Опыт применения методов планирования и анализа данных показывает, что для достижения успеха в планировании экспериментов и анализе данных исследователь должен одинаково хорошо ориентироваться в трёх областях:



  1. в математическом (имитационном) моделировании, т.е. искусстве формализации постановки реальной задачи и разработки её математической модели;

  2. в математическом аппарате методов планирования экспериментов и анализа данных;

  3. в существующих прикладных программах.

В ряде случаев, используя статистические методы, исследователь испытывает чувство неудовлетворённости, причины которого заключаются в увлечении формализованной и эмпирической сторонами этих методов при относительно поверхностном знании предпосылок их применения, а также в том, что при исследовании недетерминированных объектов приходиться анализировать данные, имея неполные знания о механизме явлений, происходящих в объекте.

Обычно процесс экспериментирования включает такие важные этапы, как постановка задачи, априорный анализ, эксперимент, интерпретация результатов. В каждый из этих этапов входит такой необходимый шаг, как принятие решений.

Современная математическая теория требует, чтобы задача была формализована, т.е. надо однозначно сформулировать цель исследования, выделить переменные, значения которых определяют близость к поставленной цели, и установить некоторые соотношения между целью и переменными, принять ограничения и т.п.

Вся совокупность имеющихся до начала эксперимента сведений принято называть априорной (т.е. доопытной) информацией. Априорный анализ – сбор и анализ априорной информации – позволяет уточнить постановку задачи и выбрать программу действий экспериментатора, т.е. учесть специфику решаемой задачи, что значительно повышает эффективность проведения и планирования экспериментов.

Методы планирования экспериментов позволяют осуществить перевод результатов с языка математической модели на язык, которым владеет экспериментатор.

Принятие решений на каждом этапе экспериментирования приводит к циклическому повторению этапов, что придаёт гибкость и обеспечивает обратную связь всему процессу экспериментирования

Отметим, что информация, добытая в некотором эксперименте, является априорной по отношению к следующему эксперименту. Процедуры, связанные с решением всего обширного круга вопросов на пути от замысла к плану, называются предпланированием эксперимента.

Основные определения теории вероятностей


  1. Базовые определения

  2. Распределения случайной величины

  3. Основные характеристики случайной величины

  4. Типовые законы случайных величин

Первичные методы анализа данных

В настоящее время в арсенале методов прикладной статистики есть много подходов для построения различных математических моделей. Среди них выделим те, которые используются на начальных стадиях исследования и для которых типичны следующие задачи: нахождение неизвестных параметров эмпирических распределений; проверка статистических гипотез; определение закона распределения случайной величины по опытным данным. Выборочный метод позволяет оценить параметры генеральной совокупности (генеральное среднее, генеральную дисперсию).

Так как исследователь зачастую имеет дело с объёмом малой выборки, то важными требованиями к совокупности малого объёма является представительность анализируемого материала и достаточная достоверность имеющихся данных, с тем чтобы можно было делать заключения о свойствах генеральной совокупности с максимально возможной вероятностью.

Для практических задач обычно используют выборочные данные.



3. Математическое планирование эксперимента в научных исследованиях

3.1 Основные понятия и определения

В настоящее время в экспериментальных исследованиях всё шире применяются методы планирования эксперимента. Так как многие исследования требуют постановки очень сложных и дорогостоящих экспериментов, необходимо значительно повысить эффективность и качество экспериментальных работ.

Как и в любом сформировавшемся научном направлении, в теории планирования эксперимента выработалась определенная система основополагающих понятий и терминов. Приведем наиболее важные из них.

Объект исследования есть носитель некоторых неизвестных и подлежащих изучению свойств и качеств.



Планирование эксперимента – это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью[2, с. 14].

Для подробного изучения объекта исследования необходима его подробная модель. Подходящей моделью является «черный ящик», введенный в кибернетике с целью изучения сложности. Его построение основано на принципе: оптимальное управление возможно при неполной информации. Ясная формулировка этого факта является важнейшим достижением кибернетики.

Под экспериментом будем понимать совокупность операций совершаемых над объектом исследования с целью получения информации об его свойствах. Эта совокупность может быть весьма сложной, но её всегда можно разложить на отдельные элементы, каждый из которых мы называем опытом. Эксперимент, в котором исследователь по своему усмотрению может изменять условия его проведения, называется активным экспериментом. Если исследователь не может самостоятельно изменять условия его проведения, а лишь регистрирует их, то это пассивный эксперимент.

Важнейшей задачей методов обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача построения математической модели изучаемого явления, процесса, объекта. Ее можно использовать и при анализе процессов и при проектировании объектов. Можно получить хорошо аппроксимирующую математическую модель, если целенаправленно применяется активный эксперимент. Другой задачей обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача оптимизации, т.е. нахождения такой комбинации влияющих независимых переменных, при которой выбранный показатель оптимальности принимает экстремальное значение.



Опыт – это отдельная экспериментальная часть.

План эксперимента – совокупность данных определяющих число, условия и порядок проведения опытов.

Математическая модель объекта исследования – это определённая фраза на языке математики, содержательно отражающая те или иные свойства изучаемого объекта, в частности структуру и количественные связи, его характеризующие. Методы планирования фактически предназначены для получения математических статистических моделей объектов исследования.



Планирование эксперимента – выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям, совокупность действий направленных на разработку стратегии экспериментирования (от получения априорной информации до получения работоспособной математической модели или определения оптимальных условий). Это целенаправленное управление экспериментом, реализуемое в условиях неполного знания механизма изучаемого явления.

В процессе измерений, последующей обработки данных, а также формализации результатов в виде математической модели, возникают погрешности и теряется часть информации, содержащейся в исходных данных. Применение методов планирования эксперимента позволяет определить погрешность математической модели и судить о ее адекватности. Если точность модели оказывается недостаточной, то применение методов планирования эксперимента позволяет модернизировать математическую модель с проведением дополнительных опытов без потери предыдущей информации и с минимальными затратами.



Цель планирования эксперимента – нахождение таких условий и правил проведения опытов при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности.

Пусть интересующее нас свойство (Y) объекта зависит от нескольких (n) независимых переменных (Х1, Х2, …, Хn) и мы хотим выяснить характер этой зависимости – Y=F(Х1, Х2, …, Хn), о которой мы имеем лишь общее представление. Величина Y – называется «отклик», а сама зависимость Y=F(Х1, Х2, …, Хn) – "функция отклика".

Отклик должен быть определен количественно. Однако могут встречаться и качественные признаки Y. В этом случае возможно применение рангового подхода. Пример рангового подхода – оценка на экзамене, когда одним числом оценивается сложный комплекс полученных сведений о знаниях студента.

Независимые переменные Х1, Х2, …, Хn – иначе факторы, также должны иметь количественную оценку. Если используются качественные факторы, то каждому их уровню должно быть присвоено какое-либо число. Важно выбирать в качестве факторов лишь независимые переменные, т.е. только те которые можно изменять, не затрагивая другие факторы. Факторы должны быть однозначными. Для построения эффективной математической модели целесообразно провести предварительный анализ значимости факторов (степени влияния на функцию), их ранжирование и исключить малозначащие факторы.



Планирование эксперимента – это выбор числа опытов и условий их проведения необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

Эксперимент, который ставится для решений задач оптимизации, называется экстремальным. Примерами задач оптимизации являются выбор оптимального состава многокомпонентных смесей, повышение производительности действующей установки, повышение качества продукции и снижение затрат на её получение. Прежде чем планировать эксперимент необходимо сформулировать цель исследования. От точной формулировки цели зависит успех исследования. Необходимо также удостовериться, что объект исследования соответствует предъявляемым ему требованиям. В технологическом исследовании целью исследования при оптимизации процесса чаще всего является повышение выхода продукта, улучшение качества, снижение себестоимости.

Большинство исследований связано с экспериментом. Он проводится в лабораториях, на производстве, на опытных полях и участках, в клиниках и т.д. Эксперимент может быть физическим, психологическим или модельным. Эксперимент может проводиться непосредственно на объекте или на его модели. Модель отличается от объекта не только масштабом, а иногда природой. Если модель достаточно точно описывает объект, то эксперимент на объекте может быть перенесён на модель. Для описания понятия "объект исследования" можно использовать представление о кибернетической системе, которая носит название чёрный ящик. Таким образом, любой объект исследования можно представить в виде "черного ящика" с определённым количеством входов и выходов. На рис. показана структурная схема объекта исследования с аддитивной помехой .

f



y

xk

x2



x1

Чёрный ящик

Рис. "Черный ящик" Модель изучаемого процесса



Рис. 1. Кибернетическое представление эксперимента

Стрелки справа изображают численные характеристики целей исследования и называются выходными параметрами (y) или параметрами оптимизации. Их называют также критерий оптимизации, целевая функция, выход "черного ящика" и т.д.

Для проведения эксперимента необходимо воздействовать на поведение чёрного ящика. Все способы воздействия обозначаются через xi, i=1,2 …, n и называются входными параметрами или факторами (управляющие параметры). Их называют также независимыми переменными и входами "черного ящика". Каждый фактор может принимать в опыте одно из нескольких значений, и такие значения называются уровнями. Фиксированный набор уровней и факторов определяет одно из возможных состояний чёрного ящика, одновременно они являются условиями проведения одного из возможных опытов. Результаты эксперимента используются для получения математической модели объекта исследования. Использование для объекта всех возможных опытов приводит к абсурдно большим экспериментам. В связи с этим эксперименты необходимо планировать.

При решении задачи будем использовать математические модели объекта исследования. Здесь под математической моделью мы понимаем уравнение, связывающее параметр оптимизации с факторами. Это уравнение в общем виде можно записать так:

y=f(x1,x2, … ,xn).

Такая функция называется функцией отклика. Поверхность, являющуюся геометрическим образом функции отклика, называют поверхностью отклика.

В самом общем случае, когда исследование ведётся при неполном знании механизма изучаемых явлений, естественно аналитическое выражение функции неизвестным. Поэтому приходиться ограничиваться представлением её полиномом. Например, полином первого порядка (линейная модель):y(x, b)=b0+b1x1+…+bnxn с теоретическими коэффициентами регрессии b0, b1, …,bn, т.е. функция задана с точностью до параметров (параметры неизвестны и их требуется оценить по результатам эксперимента)

Пользуясь результатами эксперимента, можно определить только выборочные коэффициенты регрессии b0, b1, …,bn, которые являются лишь оценками для теоретических коэффициентов регрессии.

План эксперимента, позволяющий вычислить коэффициенты линейного уравнения регрессии, называют планом первого порядка.

План второго порядка – это план эксперимента, позволяющий вычислить коэффициенты полного уравнения регрессии второй степени.

Задачей планирования является выбор необходимых для эксперимента опытов, методов математической обработки их результатов и принятия решений. Частный случай этой задачи - планирование экстремального эксперимента. То есть эксперимента поставленного с целью поиска оптимальных условий функционирования объекта. Таким образом, планирование экстремального эксперимента - это выбор количества и условий проведения опытов, минимально необходимых для отыскания оптимальных условий. При планировании эксперимента объект исследования должен обладать обязательными свойствами:

1. управляемым;

2. результаты эксперимента должны быть воспроизводимыми.

Эксперимент называется воспроизводимым, если при фиксированных условиях опыта получается один и тот же выход в пределах заданной относительно небольшой ошибки эксперимента (2%-5%). Эксперимент проводят при выборе некоторых уровней для всех факторов, затем он повторяется через неравные промежутки времени. И значения параметров оптимизации сравниваются. Разброс этих параметров характеризует воспроизводимость результатов. Если он не превышает заранее заданной величины, то объект удовлетворяет требованию воспроизводимости результатов.

При планировании эксперимента активное вмешательство предполагает процесс и возможность выбора в каждом опыте тех факторов, которые представляют интерес. Экспериментальное исследование влияния входных параметров (факторов) на выходные может производиться методом пассивного или активного эксперимента. Если эксперимент сводится к получению результатов наблюдения за поведение системы при случайных изменениях входных параметров, то он называется пассивным. Если же при проведении эксперимента входные параметры изменяются по заранее заданному плану, то такой эксперимент называется активным. Объект, на котором возможен активный эксперимент, называется управляемым. На практике не существует абсолютно управляемых объектов. На реальный объект обычно действуют как управляемый, так и неуправляемый факторы. Неуправляемые факторы действуют на воспроизводимость эксперимента. Если все факторы неуправляемы, возникает задача установления связи между параметром оптимизации и факторами по результатам наблюдений или по результатам пассивного эксперимента. Возможна также плохая воспроизводимость изменения факторов во времени.


  1   2   3


База данных защищена авторским правом ©refedu.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница